Геометрия мыльных пузырей до сих пор озадачивает математиков
|
Как соединить два мыльных пузыря, чтобы минимизировать их суммарную площадь поверхности (включая перегородку)? Ответ на этот вопрос интуитивно очевиден, но строгое математическое решение этой задачи было дано лишь в 2000 году. Тот же вопрос для трех и более пузырей до сих пор остается открытым. Немногим лучше обстоит дело и в плоском случае. Несмотря на все достижения математики, геометрия пузырьковых кластеров остается очень сложной задачей.
В последнем выпуске журнала Reviews of Modern Physics, специализирующемся на обзорных статьях по физике и смежным дисциплинам, появилась не совсем обычная статья: F. Morgan, Soap bubble clusters, Rev. Mod. Phys. 79, 821 (2007). Этот небольшой обзор, рассчитанный на неспециалиста, посвящен истории и последним достижениям в одном интересном разделе геометрии — решении изопериметрических задач.
Простейшая изопериметрическая задача состоит в том, чтобы среди всех плоских замкнутых фигур одинакового периметра (что и дало название всем таким задачам) найти такую, которая охватывает наибольшую площадь. Чуть иная формулировка той же задачи: среди всех плоских фигур, охватывающих заданную площадь, найти фигуру с наименьшим периметром. Утверждается, что еще древние греки понимали, что такой фигурой будет окружность.
А вот задача посложнее: найти фигуру, которая ограничивает и разделяет два участка заданной площади и при этом имеет наименьшую суммарную длину периметров (а точнее, суммарную длину ограничивающих и разделяющих кривых). Интуитивно кажется очевидным, что это будут два «слипшихся круга», но доказать это со всей строгостью математикам удалось лишь в 1993 году. Аналогичная задача для трех участков заданной площади поддалась математикам лишь в 2004 году.
Вопрос о форме кластера, охватывающего четыре или больше участков плоскости заданной площади и минимизирующего суммарный периметр, до сих пор остается открытым. Конечно, эту задачу можно попытаться решить на компьютере (см. рисунок ниже), но, к сожалению, никогда нельзя быть абсолютно уверенным, что компьютер нашел самую оптимальную структуру. Кто знает, может быть существует кластер очень хитрой геометрии с еще меньшим суммарным периметром, который компьютер просто «не заметит»?
|
Еще более удивительна история поиска минимальных поверхностей в трехмерном пространстве — то есть таких замкнутых фигур, которые, охватывая N фиксированных объемов, имеют минимальную площадь поверхности (опять же, тут учитываются как наружные стенки, так и внутренние перегородки). Интуиция подсказывает, что для N = 1 это будет просто сфера, для N = 2 — как бы два слипшихся мыльных пузыря, для N = 3 — три пузыря, слипшихся в виде треугольника и т. д. Однако доказать это математически строго оказывается еще более трудным занятием.
Например, строгое доказательство того, что при заданном объеме сфера действительно обладает минимальной площадью среди всех поверхностей, было дано в 1884 году. Задача для N = 2 была решена только в 2000 году (текст доказательства доступен в архиве е-принтов: math/0406017). Задача для N = 3 до сих пор остается нерешенной; более того, автор обзора пишет, что, может быть, придется ждать еще сотню лет для получения строгого доказательства.
Для нематематика всё это может показаться чрезвычайно странным. Откуда вообще в такой простой задаче, как, например, нахождение минимальной поверхности с двумя пузырями, могут возникнуть такие сложности?
Тут есть два аспекта. Первый состоит в том, что в самой формулировке задачи нет и намека на гладкость решения. Изначально попросту неизвестно, будет ли искомая фигура преимущественно гладкой или же она окажется фрактальной — бесконечно изломанной и запутанной. Лишь во второй половине XX века, после развития такой области математики, как геометрическая теория меры, удалось строго доказать, что, действительно, искомые минимизирующие поверхности обязаны быть кусочно гладкими.
Из этого факта сразу же вытекает, например, то, что стенки отдельных пузырей должны являться поверхностями постоянной средней кривизны и подходить друг к другу под углом 120°. Однако тут появляется вторая сложность. Уже для двух пузырей можно придумать несколько разных вариантов их взаимного расположения, удовлетворяющих этим правилам (см., например, рисунок). Какой именно вариант будет обладать минимальной поверхностью, без явных подробных вычислений сказать нельзя.
|
Еще труднее находить минимальные поверхности в пространстве с большим числом измерений, а также в более сложных пространствах, например в пространстве Минковского, в гиперсферической геометрии и т. д. Да и в трехмерном евклидовом пространстве всё становится еще сложнее, если пузырь поместить в область, ограниченную стенками (например, в прямоугольный ящик заданных размеров). Примеры строго доказанных минимальных поверхностей в этих ситуациях можно перечислить по пальцам.
Отдельно стоит сказать, почему обсуждение этих сугубо математических вопросов появилось в физическом журнале. Пузырчатые системы часто встречаются в природе. Это не только сами мыльные пузыри, но и разнообразные пены, пористые среды и даже живые организмы. Во всех этих системах поверхность пузыря обычно обладает специфической формой энергии, например поверхностным натяжением. Минимизация общей поверхности в этом случае означает минимизацию полной поверхностной энергии при разбиении объема на заданные части. Именно поэтому изопериметрические задачи встречаются и в природе.
Кроме этого, пузыри и пены иногда служат удобной физической моделью для изучения какого-то более абстрактного явления в природе. Показательный пример такой модели был описан в заметке Пенные узоры помогут понять законы неравновесной термодинамики. По этой причине физику полезно знать то, с какими трудностями сопряжены попытки строгого математического описания таких систем.
Источник: F. Morgan. Soap bubble clusters // Reviews of Modern Physics, 79, 821 (13 июля 2007 года).
