Мыльная пленка с дырой сохраняет устойчивость
|
Американские математики обнаружили неожиданное свойство минимальных поверхностей, натянутых на винтовую линию. Оказывается, такие поверхности могут содержать дыры и при этом сохранять устойчивость.
Около 230 лет назад французский математик Жан Батист Мёнье доказал, что мыльная пленка, натянутая на винтовую линию, принимает вполне определенную форму, называемую геликоидом, или винтовой поверхностью. По форме она напоминает спиральную дорожку для въезда на многоуровневую парковку. Мыльная пленка принимает эту форму потому, что силы поверхностного натяжения стремятся уменьшить площадь поверхности. Геликоид относится к минимальным поверхностям, его главная особенность — минимальная величина площади при заданной внешней границе. Любая деформация только увеличивает площадь его поверхности. Теорема о геликоиде считается одной из классических задач оптимизации.
Однако новые исследования заставляют сделать важную оговорку к этой классической теореме. Как сообщается в пресс-релизе Университета Райса, если два витка винтовой спирали соединить тоннелем (или, на языке топологов, «ручкой», см. рисунок), то получится поверхность с совершенно иными топологическими свойствами, и для такой поверхности тоже существует минимальная конфигурация. Это утверждение выглядит противоречащим интуиции. На первый взгляд кажется, что мыльная спираль с дыркой непременно должна быть неустойчивой: либо тоннель схлопнется, либо наоборот расширится до предела, и пленка лопнет.
Однако, проведя компьютерные эксперименты, математики убедились, что подобные дырявые спирали все же, по-видимому, устойчивы. Дело оставалось за малым — доказать это утверждение, но уже «чистыми» математическими средствами, без использования вычислительных моделей. Полное доказательство заняло более ста страниц выкладок и дает полную уверенность, что такие поверхности действительно существуют.
«Я не знаю, есть ли какая-то практическая польза от геликоида с ручкой, — говорит один из авторов работы Майкл Вулф (Michael Wolf) из Университета Райса, — однако я теперь знаю, что мыльная пленка может принимать куда больше различных форм, чем считалось раньше. Это дает новый взгляд на задачи оптимизации, которые имеют огромную сферу применения. Никто не знает, к каким новым результатам это может привести».
