Уравнения воспроизводят песчаные узоры
|
Французские физики из группы конденсированных сред и материалов (GMCM) Реннского университета построили модель возникновения узоров на песчаном дне реки, текущей с постоянной скоростью. В своей работе они впервые смогли объяснить двумерную периодичность получающихся узоров.
Может ли равномерное движение породить периодическое? Да, и с такими случаями мы сталкиваемся в жизни постоянно. Один из самых частых примеров — появление ряби на водной глади озера при достаточно сильном ветре. Ветер при этом может дуть совершенно горизонтально и абсолютно равномерно, и тем не менее, благодаря гидродинамической неустойчивости, он способен породить периодические волны заметной высоты.
Менее заметна периодическая «рябь» на песчаном дне реки. Но ее нельзя считать настоящими волнами. Несмотря на то что такая рябь внешне похожа на волны на воде и имеет ту же причину возникновения (нестабильность сплошной среды), это статическое явление, и оно подчиняется иным уравнениям.
До сих пор теоретические исследования этого явления ограничивались одномерным случаем: песчинки могли либо покоиться на дне, либо сноситься строго вперед, вдоль оси x. Действительно, в таком одномерном случае при повышении скорости течения реки наблюдалось рождение периодической песчаной структуры на абсолютно ровном дне. Эти одномерные решения подразумевают, что на реальной, двумерной, поверхности песчаный узор будет представлять собой абсолютно ровные гребни, перпендикулярные направлению течения (т. е. от второго измерения, вдоль оси y, ничего не зависит).
На самом деле это не так, в чем читатель может убедиться самостоятельно. У песчаной ряби появляется вторая периодичность в направлении, перпендикулярном течению. Этим объясняются красивые узоры, похожие на кирпичную кладку или на шестиугольники. Однако точной теории возникновения этих узоров до сих пор не было.
Этот пробел восполнила недавняя теоретическая статья французских физиков V. Langlois, A. Valance, Physical Review Letters, 94, 248001 (20 June 2005). Они выяснили критерий неустойчивости песчаной подложки относительно образования ряби различной длины волны и различного направления. Как и ожидалось, легче всего возникали песчаные «волны» вдоль направления течения, а вероятность возникновения «наклонных волн» была мала. Однако в определенных случаях эти наклонные волны «резонировали» с основной продольной волной, тоже становясь большими и порождая характерный узор.
Авторы подчеркивают, что их работа — лишь первый шаг к построению полной теории нестабильности песчаной подложки. Анализ проводился лишь в слабо-нелинейном приближении, в котором учитывался лишь один конкретный тип «кооперации» между различными песчаными волнами. Для выяснения того, как реально обстоит дело, необходимо провести полный нелинейный анализ явления. Кроме того, до сих пор непонятно, как изменится этот процесс, если принять во внимание турбулентность текущей воды.
Добавим уже от себя, что эта работа являет собой простой, но наглядный пример нарушения симметрии. В исходной формулировке задачи никакие параметры — ни начальное состояние, ни течение жидкости — не зависят от координаты y. (Физики говорят, что задача абсолютно симметрична относительно произвольных сдвигов вдоль оси y.) А вот результат — решение симметричных уравнений — уже не обладает такой симметрией. Эта ситуация очень характерна для задач во многих областях теоретической физики.
Игорь Иванов
